Critère de Kelly à partir de prévisions calibrées : comment dimensionner les positions lorsque les estimations de p_up sont bruitées ?

Un trader qui dispose d’un modèle produisant p_up, une probabilité calibrée d’un mouvement favorable pour un symbole et un horizon donnés, fait face à une question de suivi immédiate : combien de capital risquer sur chaque signal. Les stratégies Kelly et Kelly à fraction élevée ont une performance à court terme très risquée [4]. Cela importe parce qu’un trader particulier a généralement un horizon fini, un capital limité, et ne peut pas tolérer le type de drawdown qu’un parieur théoriquement optimal en croissance pourrait accepter sur un horizon infini. Des simulations ont trouvé un compromis systématique entre croissance et sécurité en fonction de la taille de mise choisie par différentes stratégies [4]. Quel que soit le caractère favorable des opportunités d’investissement ou la durée de l’horizon fini, une séquence de scénarios défavorables peut produire de très mauvais résultats de richesse finale et une perte de la majeure partie du capital initial de l’investisseur [4].

Le problème est aggravé parce que p_up est une estimation, pas la probabilité vraie. Les paris Kelly dérivés empiriquement à partir de données échantillonnées peuvent différer considérablement des paris Kelly fondés sur la distribution vraie des rendements [5]. Dans l’exemple étudié, le praticien fondé sur les données a jugé le pari très favorable et a choisi une grande fraction de mise optimale, tandis que le théoricien utilisant la distribution vraie a choisi peu ou pas de pari [5]. C’est un avertissement direct pour tout pipeline qui estime p_up à partir d’un classifieur entraîné sur des barres historiques : l’estimation peut sembler suffisamment bonne pour justifier un gros pari alors que l’avantage vrai, s’il était connu, n’en justifierait aucun.

L’erreur d’estimation n’est pas propre aux modèles de probabilité de gain. Des erreurs de spécification d’estimation dans les entrées de portefeuille peuvent causer de fortes déviations par rapport à l’optimalité et une performance hors échantillon inférieure [8]. Les poids de portefeuille sont extrêmement sensibles aux changements dans les rendements attendus, qui sont plus difficiles à estimer que les covariances des rendements [8]. Même les portefeuilles à variance minimale globale, qui n’utilisent pas du tout les rendements attendus, peuvent avoir des erreurs d’estimation significatives dans leurs poids de portefeuille lorsque les estimations de covariance sont incertaines, en particulier dans des contextes de grande dimension [8]. Cela indique à un constructeur que le bruit dans p_up est un cas d’un problème d’estimation plus large qui affecte généralement les décisions de dimensionnement.

Enfin, les coûts de transaction et la ruine sont tous deux des sujets de recherche actifs à part entière, distincts du résultat classique de Kelly sans coûts. En présence de frictions de marché, l’analyse conventionnelle par semimartingales et intégrales stochastiques ne fonctionne pas dans le cadre général avec coûts de transaction [7]. Un problème d’investissement avec ruine sur la durée de vie et coûts de transaction proportionnels peut être formulé comme la minimisation de la probabilité que la ruine survienne avant le décès [10]. Ce sont des problèmes difficiles, étudiés séparément ; aucun des travaux cités ne les résout conjointement avec une estimation bruitée de p_up, donc un constructeur devrait traiter chaque ajustement comme un module séparé et testable plutôt que de supposer qu’ils se composent proprement.

Dans sa forme la plus simple, le critère de Kelly spécifie la fraction optimale de capital à miser [5]. Sous des cotes équitables, des hypothèses de marché de courses de chevaux avec des résultats indépendants et identiquement distribués (i.i.d.), et sans coûts de transaction, Kelly a prouvé l’optimalité des stratégies de mise proportionnelle [3]. Sous les mêmes hypothèses de cotes équitables, le taux de croissance asymptotique de la richesse cumulée est maximal lorsque la fraction de capital misée sur chaque cheval est proportionnelle à sa vraie probabilité de gain [3]. Le critère de Kelly appelle à maximiser la croissance logarithmique attendue de la richesse [13]. Le problème classique de pari de Kelly peut être résolu par programmation concave standard [13].

Ce sont des résultats forts mais conditionnels. La preuve dépend de cotes équitables, de résultats i.i.d. et de l’absence de coûts de transaction [3]. L’environnement d’un trader particulier, avec des écarts bid-ask, des rendements non i.i.d. selon les régimes, et le p_up d’un classifieur plutôt qu’une probabilité vraie connue, viole chacune de ces conditions dans une certaine mesure. Cela ne signifie pas que l’idée de mise proportionnelle de Kelly est inutile ; cela signifie que la formule doit être adaptée, et que chaque adaptation a besoin de sa propre justification plutôt que d’un appel à la preuve originale.

À mesure que la fraction de Kelly optimale augmente, diverses mesures de risque peuvent devenir inacceptablement grandes [5]. C’est la raison pratique de l’existence de Kelly fractionnaire : les stratégies fractionnaires réduisent la fraction de Kelly optimale afin que moins de capital soit à risque sur chaque pari [5]. Le compromis est explicite et simulé : des simulations ont trouvé un compromis systématique entre croissance et sécurité en fonction de la taille de mise choisie par différentes stratégies [4]. Un constructeur qui choisit une fraction choisit un point sur cette courbe croissance-sécurité, il n’élimine pas le compromis.

Une complication supplémentaire est que la théorie de Kelly elle-même peut recommander de s’abstenir. Lorsque la variable aléatoire de rendement a un support non borné, la théorie de Kelly peut conduire à ne pas parier du tout [5]. Cela importe pour un système piloté par p_up car si la distribution sous-jacente des rendements implicite dans les sorties du classifieur a des queues lourdes ou non bornées, la réponse théoriquement correcte, une fois les vrais paramètres connus, peut être de dimensionner à zéro, et non de réduire vers une petite fraction positive. Un constructeur ne devrait pas supposer qu’une fraction de Kelly positive est toujours la bonne réponse, même avant de considérer l’erreur d’estimation.

Plusieurs mécanismes distincts traitent l’écart entre l’avantage vrai et son estimation bruitée. Une approximation fondée sur Taylor reformule le problème de pari de Kelly en programmation quadratique et produit une solution approximative sous forme fermée [13]. L’approche de Kelly approximative fondée sur Taylor fournit des résultats concernant la performance de pari, le gain ou la perte cumulé attendu, sa variance, la croissance attendue, la variance de la croissance logarithmique et la survivabilité [13]. Cela donne à un constructeur un objet calculable sous forme fermée plutôt qu’une résolution complète en programmation concave pour chaque nouvelle estimation de p_up, au prix de l’acceptation de l’erreur de l’approximation par rapport à la solution classique exacte.

Une approche distincte traite directement l’erreur d’estimation au niveau de la construction de portefeuille. Une stratégie de portefeuille optimal en croissance par apprentissage d’ensemble combine l’agrégation bootstrap et la méthode de sous-espace aléatoire pour atténuer l’erreur d’estimation [2]. Une analyse par simulation et des comparaisons hors échantillon avec 10 stratégies concurrentes sur quatre jeux de données ont constaté que la stratégie de portefeuille optimal en croissance par apprentissage d’ensemble était supérieure selon de nombreux critères d’évaluation [2]. C’est une preuve en faveur des stratégies optimales en croissance au niveau du portefeuille sous erreur d’estimation, évaluées contre 10 stratégies concurrentes nommées sur quatre jeux de données [2] ; ce n’est pas une preuve concernant le dimensionnement Kelly d’un actif unique à partir d’un classifieur p_up, donc un constructeur ne peut pas transposer la revendication spécifique de supériorité numérique à un problème de dimensionnement d’un seul symbole sans la retester dans ce contexte.

Pour les problèmes de portefeuille fondés sur la covariance spécifiquement, la validation croisée est documentée comme un remède à un problème d’estimation apparenté mais distinct. Lorsque le rapport entre actifs et taille d’échantillon est élevé, la covariance d’échantillon et son inverse ont une erreur d’estimation plus grande parce que leurs valeurs propres peuvent être surestimées ou sous-estimées [8]. Lorsque le ratio de concentration q=n/T dépasse 1, la matrice de covariance d’échantillon devient singulière et son inverse ne peut pas être calculée [8]. Les estimateurs de rétrécissement linéaire combinent la matrice de covariance d’échantillon avec une matrice cible structurée pour offrir un compromis biais-variance [8]. Une technique de validation croisée à plusieurs plis peut être utilisée pour sélectionner les paramètres de réglage des méthodes d’estimation de covariance au sein de chaque méthode [8]. Dans une analyse empirique utilisant quatre jeux de données S&P 500, la sélection de paramètres de réglage pilotée par les données via validation croisée a amélioré la performance hors échantillon du portefeuille à variance minimale globale [8]. Ces quatre constats portent sur l’estimation de covariance pour des portefeuilles à variance minimale multi-actifs, pas sur l’erreur d’estimation de p_up pour un pari Kelly sur un instrument unique ; un constructeur travaillant avec un seul signal p_up par symbole et par horizon devrait y voir un modèle pour valider par croisement tout paramètre réglable (y compris un facteur de rétrécissement appliqué à p_up lui-même), et non un nombre directement transférable.

Le dimensionnement des positions, indépendamment de la manière dont l’estimation de l’avantage est produite, a son propre effet mesuré sur les résultats. Le dimensionnement des positions affecte substantiellement les caractéristiques de risque et de rendement des stratégies de trading techniques [9]. Une étude comparant les méthodes de dimensionnement des positions a constaté que le dimensionnement relatif des positions a un impact sévère sur les résultats de trading par rapport à des positions erratiques [9]. Des fractions de trading plus petites ont produit les rendements ajustés au risque les plus élevés dans la plupart des scénarios simulés [9]. C’est un soutien direct, bien que distinct, à la réduction de la fraction de dimensionnement sous la valeur naïve implicite de Kelly, faisant écho à la logique de Kelly fractionnaire sous un angle empirique différent.

Un p_up calibré n’est pas statique ; il est réestimé à mesure que de nouvelles barres arrivent, donc la question de la fréquence de mise à jour de la taille de mise est elle-même une décision modélisée dans la littérature. Dans le jeu dynamique étudié, le parieur sélectionne une fraction de richesse au temps zéro, garde les produits résultants à risque pendant n pas, et ne met à jour la taille de mise qu’après ces n pas [1]. Cela modélise directement le choix pratique d’un constructeur : combien de barres en minutes ou en jours maintenir une décision de dimensionnement fixe avant de la recalculer à partir d’un nouveau p_up.

La même étude s’étend aux coûts et aux intérêts. L’analyse du jeu dynamique examine explicitement les effets des intérêts courus et des coûts de transaction sur la performance de pari optimale [1]. C’est l’une des rares preuves qui lie directement la fréquence de pari aux coûts de transaction dans un cadre unique, ce qui importe pour quiconque décide s’il faut redimensionner après chaque barre d’une minute (haute fréquence, traîne de coûts plus importante) ou après chaque barre journalière (fréquence plus basse, traîne de coûts moindre).

L’étude ne résout pas entièrement le cas général. Pour des distributions de rendement générales, l’étude énonce des conjectures sur la manière dont la performance optimale change avec l’intervalle de mise à jour et sur le moment où un parieur à basse fréquence peut égaler la performance d’un parieur à haute fréquence [1]. Comme elles sont énoncées comme des conjectures, un constructeur devrait traiter toute affirmation spécifique concernant

Les coûts de transaction changent la structure mathématique du problème d’investissement, pas seulement son résultat numérique. Dans le modèle de marché avec coûts de transaction, l’obligation sans risque est le numéraire constant et l’action risquée peut être achetée au prix vendeur S et vendue au prix acheteur (1minus lambda)S [7]. Cette formulation d’écart bid-ask, avec lambda comme paramètre de coût proportionnel, est la manière standard dont la littérature citée représente les coûts, et elle correspond directement au besoin d’un constructeur de soustraire un coût fondé sur l’écart à chaque transaction simulée.

En présence de frictions de marché, l’analyse conventionnelle par semimartingales et intégrales stochastiques ne fonctionne pas dans le cadre général avec coûts de transaction [7]. Avec des coûts de transaction proportionnels, des portefeuilles acceptables peuvent être définis via un système de prix cohérent afin que les processus de valeur de liquidation restent au-dessus de seuils stochastiques [7]. Ce sont des résultats de la théorie de la dualité en temps continu ; ils établissent que les coûts de transaction exigent un appareil analytique véritablement différent, et non une simple soustraction de la formule de Kelly sans coûts. Un constructeur ne devrait pas supposer qu’insérer un terme de coût dans l’objectif classique de croissance logarithmique de Kelly et réoptimiser retrouve la bonne réponse ; la théorie citée suggère que la structure même du problème change sous coûts.

La ruine est traitée comme son propre problème formel, là encore avec coûts de transaction présents. Un problème d’investissement avec ruine sur la durée de vie et coûts de transaction proportionnels peut être formulé comme la minimisation de la probabilité que la ruine survienne avant le décès [10]. Cela donne à un constructeur un objectif nommé, minimiser la probabilité de ruine avant un horizon, comme alternative à la maximisation de la croissance logarithmique attendue ; les deux objectifs ne sont pas identiques, et cette base de preuves ne rapporte pas d’étude qui optimise les deux conjointement avec une entrée p_up bruitée.

Comme ces résultats proviennent de différents articles avec différentes hypothèses (Kelly avec cotes équitables sans coûts dans [3], effets de fréquence et de coûts dans [1], dualité en temps continu avec frictions dans [7], et ruine sur la durée de vie dans [10]), un constructeur ne peut pas simplement ajouter un terme de coût à la formule classique de Kelly et s’attendre à ce que les garanties d’un article quelconque se transportent. Chacun de ces cadres devrait être traité comme un modèle distinct à tester séparément contre la structure de coûts et les données du trader, et non comme des dérivations interchangeables du même nombre.

La croissance logarithmique attendue, l’objectif classique de Kelly, n’est pas la seule chose qu’un constructeur devrait mesurer. Maximiser la croissance attendue peut encore produire des drawdowns significatifs qui rendent une stratégie non soutenable [12]. C’est un avertissement direct qu’un système réglé purement pour maximiser la croissance attendue, même avec un p_up correctement estimé, peut encore ruiner un trader par des pertes dépendantes du chemin avant que l’avantage de croissance à long terme ne se matérialise.

Des mesures de risque dépendantes du chemin telles que le risque de drawdown peuvent être utilisées pour évaluer le risque de retracements significatifs de portefeuille [12]. Cela donne à un constructeur une classe concrète de métriques, fondées sur le drawdown, à calculer en parallèle de la richesse finale ou du taux de croissance. La simulation Monte Carlo peut être utilisée pour analyser le comportement à moyen terme des trajectoires de rendement cumulé sous différentes distributions de rendement [12]. C’est l’outil recommandé pour transformer une distribution de rendement ajustée ou supposée (qui pourrait être dérivée d’une séquence d’estimations p_up et de résultats réalisés) en une distribution de trajectoires de drawdown plutôt qu’en un seul nombre attendu.

Des distributions de résultats à queues plus lourdes exigent une attention supplémentaire parce que la stratégie optimale en croissance peut ne pas être optimale d’un point de vue pratique du risque [12]. Cela relie au point antérieur selon lequel la théorie de Kelly peut recommander de ne pas parier du tout lorsque le support du rendement est non borné [5] ; les deux éléments de preuve pointent dans la même direction, à savoir que le comportement de queue de la distribution de rendement (quelle que soit la manière dont il est estimé à partir de p_up et des mouvements réalisés) devrait directement informer si une taille de mise positive est même appropriée, indépendamment de la question de sa grandeur.

Pris ensemble, ces constats signifient que l’évaluation d’un constructeur ne devrait pas s’arrêter au report de la richesse finale ou d’un taux de croissance moyen. Rapporter un drawdown maximal, ou une distribution des drawdowns sur les trajectoires simulées, est une mesure distincte et nécessaire, et non un supplément optionnel, parce qu’une stratégie peut maximiser la croissance attendue et rester pratiquement non soutenable [12].

Aucun des travaux cités ne mesure directement l’effet conjoint d’une estimation bruitée de p_up, du rétrécissement de Kelly fractionnaire, de planchers de drawdown et de seuils tenant compte des coûts, ensemble, sur la probabilité de ruine. La preuve classique d’optimalité pour le pari de Kelly tient sous cotes équitables, résultats i.i.d. et absence de coûts de transaction [3], conditions qu’un système particulier piloté par p_up ne satisfera pas exactement. L’avertissement selon lequel les paris Kelly dérivés empiriquement peuvent différer considérablement des paris Kelly fondés sur la distribution vraie est énoncé avec

1. Définir l’unité d’estimation. Traiter chaque paire (symbol, horizon) comme produisant une estimation de p_up à un horodatage made_at donné, en correspondance avec le schéma de la table forecasts (symbol, horizon, made_at, q10, q50, q90, p_up). Stocker chaque p_up avec le résultat réalisé (le prix a-t-il bougé favorablement sur cet horizon) afin de pouvoir vérifier ultérieurement la calibration.

2. Calculer la fraction de Kelly brute. Pour un pari binaire gagnant/perdant avec probabilité de gain p_up et cote de gain b implicite dans q10/q50/q90, la fraction de Kelly classique f* maximise la croissance logarithmique attendue [13], résoluble par programmation concave standard pour le cas exact [13], ou par l’approximation quadratique fondée sur Taylor pour une estimation rapide sous forme fermée [13].

3. Appliquer un multiplicateur de Kelly fractionnaire. Parce que la fraction de Kelly optimale peut produire des mesures de risque inacceptablement grandes [5], multiplier f* par une fraction c dans (0,1). Les stratégies fractionnaires réduisent la fraction afin que moins de capital soit à risque par pari [5] ; il n’existe aucun nombre cité pour la

Le script ci-dessous lit les barres et les prévisions depuis data.sqlite, calcule une taille de position de Kelly fractionnaire à partir de p_up (implémentant les affirmations C, D, E, T, U), applique une décote de coût de transaction modélisée sur la structure d’écart ask/bid de l’affirmation Q, exécute une simulation Monte Carlo de trajectoires de croissance cumulée et de drawdowns (implémentant les affirmations AJ, AK, AI), et compare une stratégie de Kelly fractionnaire à une référence Kelly complet et à une référence à fraction fixe, en imprimant la richesse finale, le drawdown maximal et la probabilité de ruine pour chacune. Référence à battre : Kelly complet (multiplicateur de fraction 1.0) devrait montrer une probabilité de ruine plus élevée et un drawdown maximal plus grand que Kelly fractionnaire (multiplicateur 0.5), en correspondance avec le compromis croissance-sécurité rapporté dans l’affirmation G. L’exécuter avec : python kelly_note.py. Si data.sqlite n’a pas de prévisions, le script synthétise un petit jeu de données déterministe pour qu’il s’exécute toujours de manière autonome.

import os
import sqlite3
import numpy as np
import pandas as pd

RNG = np.random.default_rng(42)

DB_PATH = os.environ.get("QOURAT_DB", "data.sqlite")


def load_forecasts(db_path):
    # Reads the forecasts table. Input: sqlite file path.
    # Output: DataFrame with columns symbol, horizon, made_at, q10, q50, q90, p_up.
    if not os.path.exists(db_path):
        return None
    con = sqlite3.connect(db_path)
    try:
        df = pd.read_sql_query("select * from forecasts", con)
    except Exception:
        df = None
    con.close()
    return df


def load_bars(db_path, tf="1d"):
    # Reads the bars table for a given timeframe.
    # Input: sqlite path, timeframe string '1m' or '1d'.
    # Output: DataFrame with columns symbol, tf, ts, open, high, low, close, volume.
    if not os.path.exists(db_path):
        return None
    con = sqlite3.connect(db_path)
    try:
        df = pd.read_sql_query(
            "select * from bars where tf = ?", con, params=(tf,)
        )
    except Exception:
        df = None
    con.close()
    return df


def synth_forecasts(n=250):
    # Builds a small deterministic synthetic dataset if data.sqlite is empty
    # or missing, so the script always runs end to end.
    p_up = np.clip(RNG.normal(0.55, 0.08, size=n), 0.05, 0.95)
    q50 = np.zeros(n)
    q10 = q50 - 0.02
    q90 = q50 + 0.02
    made_at = pd.date_range("2023-01-01", periods=n, freq="D")
    return pd.DataFrame(
        {
            "symbol": ["AAPL"] * n,
            "horizon": [1] * n,
            "made_at": made_at,
            "q10": q10,
            "q50": q50,
            "q90": q90,
            "p_up": p_up,
        }
    )


def kelly_fraction(p_up, win_return, lose_return):
    # Implements claim T and claim U: classical Kelly fraction for a binary
    # bet with win probability p_up, win multiple win_return (fractional
    # gain if the bet wins) and loss multiple lose_return (fractional loss
    # if the bet loses, positive number). Standard concave-programming
    # solution for this simple binary case: f* = p/lose_return -
    # (1-p)/win_return, clipped to [0, 1].
    f = p_up / lose_return - (1.0 - p_up) / win_return
    return np.clip(f, 0.0, 1.0)


def apply_cost_haircut(f, spread_frac):
    # Implements claim Q: the risky asset is bought at the ask and sold at
    # the bid, so a round trip costs approximately spread_frac of the
    # traded notional. We shrink the Kelly fraction by the cost as a
    # simple, transparent adjustment: less capital should be committed
    # when the round-trip cost eats into the edge.
    return np.clip(f * (1.0 - spread_frac), 0.0, 1.0)


def simulate_paths(f_series, win_return, lose_return, outcomes, n_paths=2000, start_wealth=1.0):
    # Implements claim AK (Monte Carlo simulation of cumulative return
    # paths) and supports computing claim AJ (drawdown) and claim AI
    # (growth vs sustainability). Inputs: per-step fraction f_series
    # (array, one value per historical bet), win_return, lose_return
    # (scalars), outcomes (array of 0/1, 1 = win, used to resample bet
    # results with replacement to build many paths). Output: array of
    # shape (n_paths, n_steps+1) of wealth trajectories.
    n_steps = len(f_series)
    wealth = np.full((n_paths, n_steps + 1), start_wealth, dtype=float)
    for t in range(n_steps):
        f = f_series[t]
        # Resample outcomes with replacement to build many possible paths
        wins = RNG.choice(outcomes, size=n_paths)
        gains = np.where(wins == 1, f * win_return, -f * lose_return)
        wealth[:, t + 1] = wealth[:, t] * (1.0 + gains)
        wealth[:, t + 1] = np.maximum(wealth[:, t + 1], 0.0)
    return wealth


def compute_max_drawdown(wealth_paths):
    # Implements claim AJ: max drawdown, the worst peak-to-trough decline in
    # each simulated path. Input: array (n_paths, n_steps+1). Output: array
    # (n_paths,) of max drawdown fractions.
    n_paths = wealth_paths.shape[0]
    mdd = np.zeros(n_paths)
    for i in range(n_paths):
        path = wealth_paths[i, :]
        running_max = np.maximum.accumulate(path)
        drawdown = (running_max - path) / np.maximum(running_max, 1e-9)
        mdd[i] = drawdown.max()
    return mdd


def compute_ruin_prob(wealth_paths, threshold=0.01):
    # Ruin probability: fraction of paths that drop below threshold of
    # starting wealth. Input: array (n_paths, n_steps+1). Output: scalar
    # probability.
    terminal_wealth = wealth_paths[:, -1]
    return (terminal_wealth  0.5, treat as a win. This is used
    # only to set an empirical resampling probability for the simulation,
    # not to leak future information.
    outcomes = (p_up > 0.5).astype(int)

    full_kelly_f = kelly_fraction(p_up, win_return, lose_return)

    # claim E: fractional Kelly multiplier
    frac_multiplier = 0.5
    fractional_kelly_f = full_kelly_f * frac_multiplier

    # claim Q: cost haircut using an assumed round trip spread of 0.5 percent
    spread_frac = 0.005
    cost_aware_f = apply_cost_haircut(fractional_kelly_f, spread_frac)

    # fixed-fraction baseline, independent of p_up
    fixed_f = np.full_like(full_kelly_f, 0.05)

    print(f"n bets: {len(p_up)}, win_return={win_return:.4f}, lose_return={lose_return:.4f}")
    print()

    results = {}
    results["full_kelly"] = evaluate_strategy(
        "Full Kelly (baseline, claim C/T/U)", full_kelly_f, win_return, lose_return, outcomes
    )
    print()
    results["fractional_kelly"] = evaluate_strategy(
        "Fractional Kelly x0.5 (claim E)", fractional_kelly_f, win_return, lose_return, outcomes
    )
    print()
    results["cost_aware"] = evaluate_strategy(
        "Fractional Kelly + cost haircut (claim Q)", cost_aware_f, win_return, lose_return, outcomes
    )
    print()
    results["fixed_fraction"] = evaluate_strategy(
        "Fixed 5 percent baseline", fixed_f, win_return, lose_return, outcomes
    )

    print()
    print("Check: fractional Kelly should show lower ruin probability and lower")
    print("mean max drawdown than full Kelly (claims F, G). If it does not,")
    print("the frac_multiplier or cost assumptions should be revisited.")


if __name__ == "__main__":
    main()