أبحاث
معيار Kelly من التنبؤات المُقيَّسة (calibrated): كيف يتم تحديد حجم المراكز عندما تكون تقديرات p_up مشوبة بالضجيج؟
Kelly Criterion from Calibrated Forecasts: How to Size Positions When p_up Estimates Are Noisy?
الجواب المباشر
الجواب المباشر
لا تقدّم أي دعوى في قاعدة الأدلة هذه صيغة واحدة تُعدِّل نسبة Kelly لمراعاة خطأ التقدير في p_up مع تسعير تكاليف المعاملات في الوقت نفسه؛ بل تغطي الأدلة هذه العناصر بشكل منفصل: النقطة المثلى الكلاسيكية لـKelly في ظل احتمالات عادلة (fair odds) وبدون تكاليف [3]، وهشاشة Kelly وKelly الجزئي المرتفع أمام خطر الخسارة الكاملة (ruin) في الأمد القصير [4]، وممارسة استخدام جزء من نسبة Kelly لتقليل المخاطر [5]، وتقريب مبني على التحكم بالتغذية الراجعة (feedback control) يحوّل مسألة النمو اللوغاريتمي إلى برمجة تربيعية (quadratic programming) [13]، وأدلة على أن خطأ التقدير في المدخلات (وليس p_up فقط) يمكن أن يشوّه الأوزان المثلى بشدة [8]، وأعمال منفصلة تتعلق بالاستثمار الحسّاس لتكاليف المعاملات ومسائل احتمال الخسارة الكاملة [7][10][1]. لذا يجب على من يبني هذا النظام أن يجمع بين هذه العناصر بدلاً من الاستشهاد بورقة واحدة تغطي كل الأنبوب (pipeline). الموقف الصادق هو: Kelly الجزئي، وحدود التراجع (drawdown floors)، والعتبات الحسّاسة للتكلفة هي تعديلات مدعومة كلٌّ على حدة، لكن لا توجد دراسة مستشهد بها تقيس أثرها المشترك على احتمال الخسارة الكاملة عندما يكون p_up نفسه مشوبًا بالضجيج ومتحركًا (drifting).
لماذا تهم هذه المسألة متداولًا فرديًا يستخدم مصنِّفًا (classifier) نمطيًا
المتداول الذي لديه نموذج يُخرج p_up، وهو احتمال مُقيَّس (calibrated) لحدوث تحرك مواتٍ لرمز مالي معين وأفق زمني معين، يواجه سؤالًا فوريًا تاليًا: كم من رأس المال يجب المجازفة به على كل إشارة. استراتيجيات Kelly وKelly الجزئي المرتفع (high-fractional Kelly) لها أداء محفوف بمخاطر كبيرة في الأمد القصير [4]. هذا مهم لأن المتداول الفردي غالبًا لديه أفق زمني محدود، ورأس مال محدود، ولا يمكنه تحمّل نوع التراجع (drawdown) الذي قد يقبله مضارب نظري يسعى لتحقيق النمو الأمثل على أفق زمني لا نهائي. وجدت المحاكاة (simulations) مفاضلة ثابتة بين النمو والأمان كدالة لحجم الرهان الذي تختاره استراتيجيات مختلفة [4]. بغض النظر عن مدى ملاءمة فرص الاستثمار أو طول الأفق الزمني المحدود، يمكن لسلسلة من السيناريوهات السلبية أن تُنتج نتائج ثروة نهائية سيئة جدًا وفقدان معظم رأس مال المستثمر الأولي [4].
تتعقّد المسألة لأن p_up هو تقدير، لا الاحتمال الحقيقي. رهانات Kelly المستمدة تجريبيًا من بيانات معايَنة يمكن أن تختلف اختلافًا كبيرًا عن رهانات Kelly المستمدة من توزيع العائد الحقيقي [5]. في المثال الذي جرت دراسته، اعتبر الممارِس المعتمِد على البيانات الرهان مواتيًا جدًا واختار نسبة رهان مثلى كبيرة، في حين اختار المنظِّر الذي يستخدم التوزيع الحقيقي رهانًا ضئيلًا أو معدومًا [5]. هذا تحذير مباشر لأي أنبوب (pipeline) يقدّر p_up من مصنِّف (classifier) مدرَّب على بيانات تاريخية (bars): قد يبدو التقدير جيدًا بما يكفي لتبرير رهان كبير، في حين أن الميزة الحقيقية، لو كانت معروفة، قد لا تبرر أي رهان.
خطأ التقدير ليس مقصورًا على نماذج احتمال الفوز. الأخطاء في تحديد مدخلات المحفظة يمكن أن تسبب انحرافات قوية عن الأمثلية وأداءً خارج نطاق العيّنة (out-of-sample) أدنى [8]. أوزان المحفظة حسّاسة للغاية للتغيرات في العوائد المتوقعة، التي يصعب تقديرها أكثر من تباينات (covariances) العوائد [8]. حتى محافظ التباين الأدنى العالمية (global minimum-variance portfolios)، التي لا تستخدم العوائد المتوقعة على الإطلاق، يمكن أن تحتوي أوزان محفظتها على أخطاء تقدير كبيرة عندما تكون تقديرات التباين غير مؤكدة، خاصة في الإطارات عالية الأبعاد [8]. هذا يُظهر لمن يبني النظام أن الضجيج في p_up هو مثال واحد على مشكلة تقدير أوسع تعاني منها قرارات تحديد الحجم عمومًا.
وأخيرًا، تكاليف المعاملات (transaction costs) والخسارة الكاملة (ruin) كلاهما موضوعا بحث نشط بذاتيهما، منفصلان عن نتيجة Kelly الكلاسيكية بدون تكاليف. في وجود احتكاكات السوق (market frictions)، لا يعمل التحليل التقليدي بواسطة شبه المارتنغال (semimartingale) والتكامل العشوائي (stochastic integral) في الإطار العام مع تكاليف المعاملات [7]. يمكن صياغة مسألة استثمار احتمال الخسارة الكاملة مدى الحياة (lifetime-ruin) مع تكاليف معاملات نسبية على أنها تصغير احتمال حدوث الخسارة الكاملة قبل الوفاة [10]. هذه مسائل صعبة ومدروسة بشكل منفصل؛ لا يحل أي من الأعمال المستشهد بها هذه المسائل بشكل مشترك مع تقدير p_up المشوب بالضجيج، لذا ينبغي لمن يبني النظام أن يعامل كل تعديل كوحدة قابلة للاختبار بشكل منفصل، لا أن يفترض أنها تتركّب بسلاسة.
ما هو معيار Kelly وما الافتراضات التي يقوم عليها
في أبسط صوره، يحدد معيار Kelly النسبة المثلى من رأس المال التي يجب المجازفة بها [5]. في ظل احتمالات عادلة (fair odds)، وافتراضات سوق سباقات الخيول المستقلة والمتماثلة التوزيع (i.i.d.)، وبدون تكاليف معاملات، أثبت Kelly أمثلية استراتيجيات الرهان النسبي (proportional betting) [3]. في ظل نفس افتراضات الاحتمالات العادلة، يكون معدل النمو المقارب (asymptotic growth rate) للثروة التراكمية أقصى ما يكون عندما تكون نسبة رأس المال المرهونة على كل حصان متناسبة مع احتمال فوزه الحقيقي [3]. يدعو معيار Kelly إلى تعظيم النمو اللوغاريتمي المتوقع للثروة [13]. يمكن حل مسألة رهان Kelly الكلاسيكية باستخدام البرمجة المحدَّبة (concave programming) القياسية [13].
هذه نتائج قوية لكنها مشروطة. يعتمد البرهان على الاحتمالات العادلة، والنتائج المستقلة والمتماثلة التوزيع، وعدم وجود تكاليف معاملات [3]. بيئة المتداول الفردي، بفروق سعر العرض والطلب (bid-ask spreads)، والعوائد غير المتماثلة التوزيع عبر الأنظمة السوقية المختلفة، وp_up الخاص بمصنِّف (classifier) بدلًا من احتمال حقيقي معروف، تنتهك كل هذه الشروط إلى حد ما. هذا لا يعني أن فكرة الرهان النسبي لـKelly عديمة الفائدة؛ بل يعني أن الصيغة يجب تعديلها، وكل تعديل يحتاج إلى تبرير خاص به بدلًا من الاستناد إلى البرهان الأصلي.
مع تزايد نسبة Kelly المثلى، يمكن أن تصبح مقاييس مخاطر مختلفة كبيرة بشكل غير مقبول [5]. هذا هو السبب العملي لوجود Kelly الجزئي (fractional Kelly): تقلّل الاستراتيجيات الجزئية من نسبة Kelly المثلى بحيث يكون رأس المال المعرَّض للخطر على كل رهان أقل [5]. المفاضلة صريحة وموثّقة بالمحاكاة: وجدت المحاكاة مفاضلة ثابتة بين النمو والأمان كدالة لحجم الرهان الذي تختاره استراتيجيات مختلفة [4]. من يبني النظام ويختار نسبة معينة يختار نقطة على منحنى النمو مقابل الأمان هذا، لا أنه يزيل المفاضلة.
تعقيد آخر هو أن نظرية Kelly نفسها قد توصي بالامتناع عن الرهان. عندما يكون للمتغير العشوائي للعائد دعم غير محدود (unbounded support)، يمكن أن تقود نظرية Kelly إلى عدم الرهان على الإطلاق [5]. هذا مهم لنظام يعتمد على p_up لأنه إذا كان توزيع العائد الأساسي الذي تشير إليه مخرجات المصنِّف يحتوي ذيولًا ثقيلة أو غير محدودة، فإن الاستجابة الصحيحة نظريًا، بمجرد معرفة المعاملات الحقيقية، قد تكون تحديد الحجم عند الصفر، لا التقلّص نحو نسبة إيجابية صغيرة. لا ينبغي لمن يبني النظام أن يفترض أن نسبة Kelly الإيجابية هي الإجابة الصحيحة دائمًا حتى قبل النظر في خطأ التقدير.
تعديلات لخطأ التقدير، والتقريب التربيعي، وطرق التجميع (ensemble methods)
ثمة آليات متعددة ومنفصلة تتناول الفارق بين الميزة الحقيقية وتقديرها المشوب بالضجيج. تقريب مبني على تطوير تايلور (Taylor) يعيد صياغة مسألة رهان Kelly كبرمجة تربيعية (quadratic programming) ويُنتج حلًا تقريبيًا مغلق الصيغة (closed-form) [13]. يوفّر نهج Kelly التقريبي المبني على تايلور نتائج تتعلق بأداء الرهان، والمكسب أو الخسارة التراكمية المتوقعة، وتباينها، والنمو المتوقع، وتباين النمو اللوغاريتمي، والقابلية للاستمرار (survivability) [13]. هذا يزوّد من يبني النظام بشيء قابل للحساب مغلق الصيغة بدلًا من حل برنامج محدَّب كامل لكل تقدير جديد لـp_up، مقابل قبول خطأ التقريب نسبةً إلى الحل الكلاسيكي الدقيق.
ثمة نهج منفصل يتناول خطأ التقدير مباشرة على مستوى بناء المحفظة. استراتيجية محفظة النمو الأمثل بالتعلم التجميعي (ensemble-learning growth optimal portfolio) تجمع بين التجميع بالتشغيل المتكرر (bootstrap aggregating) وطريقة الفضاء الفرعي العشوائي (random subspace method) للتقليل من خطأ التقدير [2]. وجد تحليل المحاكاة والمقارنات خارج نطاق العيّنة (out-of-sample) مع 10 استراتيجيات منافسة على أربع مجموعات بيانات أن استراتيجية محفظة النمو الأمثل بالتعلم التجميعي كانت أفضل عبر معايير تقييم موسّعة [2]. هذا دليل على استراتيجيات النمو الأمثل على مستوى المحفظة في ظل خطأ التقدير، تم تقييمها مقابل 10 استراتيجيات منافسة مسمّاة على أربع مجموعات بيانات [2]؛ ولا يمثّل دليلًا على تحديد حجم Kelly لأصل واحد من مصنِّف p_up، فلا يمكن لمن يبني النظام أن ينقل مطالبة التفوّق العددي المحدَّدة إلى مسألة تحديد حجم لرمز واحد دون إعادة اختبارها هناك.
بالنسبة لمسائل المحفظة المبنية على التباين (covariance) على وجه التحديد، يوثَّق التحقق المتقاطع (cross-validation) كعلاج لمشكلة تقدير ذات صلة لكنها متمايزة. عندما تكون نسبة عدد الأصول إلى حجم العيّنة مرتفعة، تحتوي مصفوفة التباين المعايَنة (sample covariance) ومعكوسها على خطأ تقدير أكبر لأن قيمها الذاتية (eigenvalues) قد تُقدَّر بأكثر أو أقل من قيمتها الحقيقية [8]. عندما تتجاوز نسبة التركيز q=n/T القيمة 1، تصبح مصفوفة التباين المعايَنة أحادية (singular) ويتعذّر حساب معكوسها [8]. مقدّرات الانكماش الخطي (linear shrinkage estimators) تجمع مصفوفة التباين المعايَنة مع مصفوفة هدف مُهيكَلة لتوفير مفاضلة بين التحيّز والتباين (bias-variance trade-off) [8]. يمكن استخدام تقنية تحقق متقاطع متعدد الطيّات (multi-fold cross-validation) لاختيار معاملات الضبط (tuning parameters) لطرق تقدير التباين ضمن كل طريقة [8]. في تحليل تجريبي باستخدام أربع مجموعات بيانات من مؤشر S&P 500، حسّن اختيار معاملات الضبط بالاعتماد على البيانات عبر التحقق المتقاطع الأداء خارج نطاق العيّنة لمحفظة التباين الأدنى العالمية [8]. هذه النتائج الأربع تتعلق بتقدير التباين لمحافظ متعددة الأصول من نوع التباين الأدنى، وليست عن خطأ تقدير p_up لرهان Kelly لأداة مالية واحدة؛ من يعمل بإشارة p_up واحدة لكل رمز ولكل أفق زمني ينبغي أن يعامل هذا كنموذج للتحقق المتقاطع من أي معامل قابل للضبط (بما في ذلك عامل انكماش يُطبَّق على p_up نفسه)، لا كرقم قابل للنقل المباشر.
تحديد حجم المركز (position sizing)، بمعزل عن كيفية إنتاج تقدير الميزة، له أثر مقيس خاص به على النتائج. تحديد حجم المركز يؤثر بشكل جوهري على خصائص المخاطر والعائد لاستراتيجيات التداول التقني [9]. وجدت دراسة تقارن طرق تحديد حجم المركز أن تحديد الحجم النسبي له أثر شديد على نتائج التداول مقارنة بالمراكز غير المنتظمة [9]. حقّقت النسب التجارية الأصغر أعلى عوائد معدَّلة بالمخاطر في أغلب السيناريوهات المحاكاة [9]. هذا دليل مباشر، وإن كان منفصلًا، لصالح تقليص نسبة تحديد الحجم أدنى من القيمة الساذجة التي يقترحها Kelly، وهو ما يعكس منطق Kelly الجزئي من زاوية تجريبية مختلفة.
تكرار الرهان، والانحراف (drift)، وفترات إعادة التقدير
p_up المقيَّس ليس ثابتًا؛ يُعاد تقديره كل مرة تصل بيانات جديدة (bars)، لذا فسؤال عدد المرات التي ينبغي فيها تحديث حجم الرهان هو نفسه قرار نُمَذج في الأدبيات. في اللعبة الديناميكية المدروسة، يحدد المضارب نسبة الثروة عند الزمن صفر، ويحتفظ بالعائد الناتج معرَّضًا للخطر لمدة n خطوات، ولا يحدّث حجم الرهان إلا بعد تلك الخطوات الـn [1]. هذا يُمثّل مباشرة الخيار العملي لمن يبني النظام: عدد أشرطة الدقائق أو الأيام (bars) التي يجب الاحتفاظ بقرار تحديد الحجم ثابتًا خلالها قبل إعادة حسابه من p_up جديد.
تمتد نفس الدراسة إلى التكاليف والفائدة. يفحص التحليل الديناميكي للّعبة بوضوح آثار الفائدة المتراكمة وتكاليف المعاملات على أداء الرهان الأمثل [1]. هذا واحد من الأدلة القليلة التي تربط تكرار الرهان مباشرة بتكاليف المعاملات داخل إطار واحد، وهو أمر مهم لأي شخص يقرر إعادة تحديد الحجم بعد كل شريط دقيقة (تردد مرتفع، سحب أكبر بسبب التكاليف) أو بعد كل شريط يومي (تردد أقل، سحب أقل بسبب التكاليف).
الدراسة لا تحسم الحالة العامة بالكامل. بالنسبة لتوزيعات العوائد العامة، تصرّح الدراسة بحدسيات (conjectures) حول كيفية تغيّر الأداء الأمثل مع فترة التحديث وحول متى يمكن لمضارب منخفض التردد أن يضاهي أداء مضارب مرتفع التردد [1]. لأن هذه مصرَّح بها كحدسيات، ينبغي لمن يبني النظام أن يتعامل مع أي مطالبة محددة بشأن...
تكاليف المعاملات، احتكاكات السوق، وصياغات الخسارة الكاملة (ruin)
تكاليف المعاملات تغيّر البنية الرياضية لمسألة الاستثمار، لا مجرد نتيجتها العددية. في نموذج السوق ذي تكاليف المعاملات، السند الخالي من الخطر هو العدد المرجعي (numéraire) الثابت، ويمكن شراء السهم الخطِر بسعر الطلب S وبيعه بسعر العرض (1 ناقص lambda)S [7]. هذه الصياغة القائمة على فرق سعر العرض والطلب، مع lambda كمعامل التكلفة النسبي، هي الطريقة القياسية التي تمثّل بها الأدبيات المستشهد بها التكاليف، وهي تنطبق مباشرة على حاجة من يبني النظام إلى طرح تكلفة مبنية على فرق السعر من كل عملية تداول محاكاة.
في وجود احتكاكات السوق، لا يعمل التحليل التقليدي بواسطة شبه المارتنغال والتكامل العشوائي في الإطار العام مع تكاليف المعاملات [7]. مع تكاليف معاملات نسبية، يمكن تعريف المحافظ المقبولة عبر نظام سعر متسق (consistent price system) بحيث تظل عمليات قيمة التصفية (liquidation-value processes) فوق عتبات عشوائية محددة [7]. هذه نتائج من نظرية الثنائية (duality theory) في الزمن المستمر؛ تُثبت أن تكاليف المعاملات تتطلب جهازًا تحليليًا مختلفًا حقًا، لا مجرد طرح بسيط من صيغة نمو Kelly اللوغاريتمي بدون تكاليف. لا ينبغي لمن يبني النظام أن يفترض أن إدراج حد التكلفة في هدف نمو Kelly اللوغاريتمي الكلاسيكي وإعادة الأمثلة يستعيد الإجابة الصحيحة؛ تشير النظرية المستشهد بها إلى أن بنية المسألة نفسها تتغير تحت التكاليف.
تُعامَل الخسارة الكاملة (ruin) كمسألة رسمية بذاتها، مرة أخرى بوجود تكاليف معاملات. يمكن صياغة مسألة استثمار احتمال الخسارة الكاملة مدى الحياة (lifetime-ruin) مع تكاليف معاملات نسبية على أنها تصغير احتمال حدوث الخسارة الكاملة قبل الوفاة [10]. هذا يمنح من يبني النظام هدفًا مسمّى، تصغير احتمال الخسارة الكاملة قبل أفق زمني معين، كبديل لتعظيم النمو اللوغاريتمي المتوقع؛ الهدفان ليسا متطابقين، ولا تقدّم قاعدة الأدلة هذه دراسة تُحسّن الهدفين معًا مع مدخل p_up مشوب بالضجيج.
ولأن هذه النتائج تأتي من أوراق مختلفة بافتراضات مختلفة (Kelly بدون تكاليف مع احتمالات عادلة في [3]، وآثار التردد والتكلفة في [1]، والثنائية في الزمن المستمر مع احتكاكات في [7]، والخسارة الكاملة مدى الحياة في [10])، لا يمكن لمن يبني النظام مجرد إضافة حد تكلفة إلى صيغة Kelly الكلاسيكية وتوقّع أن تظل ضمانات أي ورقة سارية. ينبغي معاملة كل من هذه الأطر كنموذج متمايز يجب اختباره بشكل منفصل مقابل بنية تكلفة المتداول وبياناته الخاصة، لا كصيغ متبادلة قابلة للتبادل لنفس الرقم.
التراجع (drawdown)، الاعتماد المساري، وما يجب قياسه إلى جانب النمو المتوقع
النمو اللوغاريتمي المتوقع، وهو هدف Kelly الكلاسيكي، ليس الشيء الوحيد الذي ينبغي لمن يبني النظام قياسه. تعظيم النمو المتوقع لا يزال قادرًا على إنتاج تراجعات (drawdowns) كبيرة تجعل الاستراتيجية غير مستدامة [12]. هذا تحذير مباشر بأن نظامًا مضبوطًا فقط لتعظيم النمو المتوقع، حتى مع تقدير صحيح لـp_up، لا يزال قادرًا على تدمير المتداول عبر خسائر تعتمد على المسار (path-dependent) قبل أن تتحقق ميزة النمو في الأمد الطويل.
مقاييس المخاطر المعتمدة على المسار مثل مخاطر التراجع (drawdown risk) يمكن استخدامها لتقييم مخاطر التراجعات الكبيرة في المحفظة [12]. هذا يزوّد من يبني النظام بفئة ملموسة من المقاييس، مبنية على التراجع، تُحسَب إلى جانب الثروة النهائية أو معدل النمو. يمكن استخدام محاكاة مونتي كارلو (Monte Carlo) لتحليل السلوك متوسط المدى لمسارات العائد التراكمي في ظل توزيعات عوائد مختلفة [12]. هذه هي الأداة المُوصى بها لتحويل توزيع عائد ملائم أو مفترض (قد يكون مستمدًا من سلسلة تقديرات p_up ونتائج فعلية) إلى توزيع لمسارات التراجع بدلًا من رقم متوقع واحد.
توزيعات النتائج ذات الذيول الأثقل تتطلب عناية إضافية لأن استراتيجية النمو الأمثل قد لا تكون مثلى من منظور المخاطر العملي [12]. هذا يرتبط بالنقطة السابقة القائلة بأن نظرية Kelly يمكن أن توصي بعدم الرهان على الإطلاق عندما يكون دعم العائد غير محدود [5]؛ كلا الدليلين يشيران في نفس الاتجاه، أن سلوك الذيل لتوزيع العائد (كيفما قُدِّر من p_up والتحركات الفعلية) ينبغي أن يوجّه مباشرة ما إذا كان حجم رهان إيجابي مناسبًا أصلًا، بمعزل عن مدى كبره.
مجتمعةً، تعني هذه النتائج أن تقييم من يبني النظام ينبغي أن لا يتوقف عند تقرير الثروة النهائية أو معدل نمو متوسط. تقرير أقصى تراجع (maximum drawdown)، أو توزيع للتراجعات عبر مسارات محاكاة، هو قياس متمايز وضروري، لا إضافة اختيارية، لأن الاستراتيجية يمكن أن تعظّم النمو المتوقع وتبقى غير مستدامة عمليًا [12].
القيود والأسئلة المفتوحة
لا يقيس أي من الأعمال المستشهد بها مباشرة الأثر المشترك لتقدير p_up المشوب بالضجيج، وانكماش Kelly الجزئي، وحدود التراجع، والعتبات الحسّاسة للتكلفة معًا على احتمال الخسارة الكاملة. برهان الأمثلية الكلاسيكي لرهان Kelly يصحّ في ظل احتمالات عادلة، ونتائج مستقلة ومتماثلة التوزيع، وبدون تكاليف معاملات [3]، شروط لن يستوفيها نظام فردي مدفوع بـp_up بدقة. التحذير من أن رهانات Kelly المستمدة تجريبيًا يمكن أن تختلف اختلافًا كبيرًا عن رهانات Kelly المستمدة من التوزيع الحقيقي مصرَّح به مع...
كيف يُبنى
كيف تبنيه، أو كيف تستخدمه
1. عرّف وحدة التقدير. عامِل كل زوج (رمز، أفق زمني) على أنه يُنتج تقديرًا واحدًا لـp_up عند طابع زمني معين made_at، مطابقًا لمخطط جدول التنبؤات (symbol, horizon, made_at, q10, q50, q90, p_up). خزّن كل قيمة p_up إلى جانب النتيجة الفعلية (هل تحرك السعر بشكل مواتٍ خلال ذلك الأفق الزمني) لتتمكن لاحقًا من فحص المعايرة (calibration).
2. احسب نسبة Kelly الخام. لرهان ثنائي فوز/خسارة باحتمال فوز p_up وعوائد b مشتقة من q10/q50/q90، نسبة Kelly الكلاسيكية f* تُعظّم النمو اللوغاريتمي المتوقع [13]، ويمكن حلها بالبرمجة المحدَّبة القياسية للحالة الدقيقة [13]، أو بالتقريب التربيعي المبني على تايلور للحصول على تقدير سريع مغلق الصيغة [13].
3. طبّق مضاعِف Kelly الجزئي. لأن نسبة Kelly المثلى يمكن أن تُنتج مقاييس مخاطر كبيرة بشكل غير مقبول [5]، اضرب f* في نسبة c تقع بين (0,1). الاستراتيجيات الجزئية تقلّل النسبة بحيث يكون رأس المال المعرَّض للخطر أقل في كل رهان [5]؛ لا يوجد رقم مستشهد به بشأن...
الشيفرة
الشيفرة: تطبيق عملي
البرنامج النصي أدناه يقرأ البيانات (bars) والتنبؤات من data.sqlite، ويحسب حجم مركز بنسبة Kelly جزئية من p_up (وهو تطبيق للدعاوى C وD وE وT وU)، ويطبّق خصمًا لتكلفة المعاملات مبنيًا على بنية فرق سعر العرض والطلب من الدعوى Q، ويُشغِّل محاكاة مونتي كارلو لمسارات النمو التراكمي والتراجعات (تطبيقًا للدعاوى AJ وAK وAI)، ويقارن استراتيجية Kelly الجزئية مقابل خط أساس Kelly كامل وخط أساس بنسبة ثابتة، ويطبع الثروة النهائية، وأقصى تراجع، واحتمال الخسارة الكاملة لكل منها. خط الأساس الذي يجب التفوق عليه: Kelly الكامل (مضاعِف نسبة 1.0) ينبغي أن يُظهر احتمال خسارة كاملة أعلى وتراجعًا أقصى أكبر من Kelly الجزئي (مضاعِف 0.5)، بما يتوافق مع مفاضلة النمو مقابل الأمان المذكورة في الدعوى G. شغّله عبر: python kelly_note.py. إذا كان data.sqlite لا يحتوي تنبؤات، فإن البرنامج النصي يولّد مجموعة بيانات صغيرة حتمية (deterministic) لكي يعمل بشكل مستقل.
import os
import sqlite3
import numpy as np
import pandas as pd
RNG = np.random.default_rng(42)
DB_PATH = os.environ.get("QOURAT_DB", "data.sqlite")
def load_forecasts(db_path):
# Reads the forecasts table. Input: sqlite file path.
# Output: DataFrame with columns symbol, horizon, made_at, q10, q50, q90, p_up.
if not os.path.exists(db_path):
return None
con = sqlite3.connect(db_path)
try:
df = pd.read_sql_query("select * from forecasts", con)
except Exception:
df = None
con.close()
return df
def load_bars(db_path, tf="1d"):
# Reads the bars table for a given timeframe.
# Input: sqlite path, timeframe string '1m' or '1d'.
# Output: DataFrame with columns symbol, tf, ts, open, high, low, close, volume.
if not os.path.exists(db_path):
return None
con = sqlite3.connect(db_path)
try:
df = pd.read_sql_query(
"select * from bars where tf = ?", con, params=(tf,)
)
except Exception:
df = None
con.close()
return df
def synth_forecasts(n=250):
# Builds a small deterministic synthetic dataset if data.sqlite is empty
# or missing, so the script always runs end to end.
p_up = np.clip(RNG.normal(0.55, 0.08, size=n), 0.05, 0.95)
q50 = np.zeros(n)
q10 = q50 - 0.02
q90 = q50 + 0.02
made_at = pd.date_range("2023-01-01", periods=n, freq="D")
return pd.DataFrame(
{
"symbol": ["AAPL"] * n,
"horizon": [1] * n,
"made_at": made_at,
"q10": q10,
"q50": q50,
"q90": q90,
"p_up": p_up,
}
)
def kelly_fraction(p_up, win_return, lose_return):
# Implements claim T and claim U: classical Kelly fraction for a binary
# bet with win probability p_up, win multiple win_return (fractional
# gain if the bet wins) and loss multiple lose_return (fractional loss
# if the bet loses, positive number). Standard concave-programming
# solution for this simple binary case: f* = p/lose_return -
# (1-p)/win_return, clipped to [0, 1].
f = p_up / lose_return - (1.0 - p_up) / win_return
return np.clip(f, 0.0, 1.0)
def apply_cost_haircut(f, spread_frac):
# Implements claim Q: the risky asset is bought at the ask and sold at
# the bid, so a round trip costs approximately spread_frac of the
# traded notional. We shrink the Kelly fraction by the cost as a
# simple, transparent adjustment: less capital should be committed
# when the round-trip cost eats into the edge.
return np.clip(f * (1.0 - spread_frac), 0.0, 1.0)
def simulate_paths(f_series, win_return, lose_return, outcomes, n_paths=2000, start_wealth=1.0):
# Implements claim AK (Monte Carlo simulation of cumulative return
# paths) and supports computing claim AJ (drawdown) and claim AI
# (growth vs sustainability). Inputs: per-step fraction f_series
# (array, one value per historical bet), win_return, lose_return
# (scalars), outcomes (array of 0/1, 1 = win, used to resample bet
# results with replacement to build many paths). Output: array of
# shape (n_paths, n_steps+1) of wealth trajectories.
n_steps = len(f_series)
wealth = np.full((n_paths, n_steps + 1), start_wealth, dtype=float)
for t in range(n_steps):
f = f_series[t]
# Resample outcomes with replacement to build many possible paths
wins = RNG.choice(outcomes, size=n_paths)
gains = np.where(wins == 1, f * win_return, -f * lose_return)
wealth[:, t + 1] = wealth[:, t] * (1.0 + gains)
wealth[:, t + 1] = np.maximum(wealth[:, t + 1], 0.0)
return wealth
def compute_max_drawdown(wealth_paths):
# Implements claim AJ: max drawdown, the worst peak-to-trough decline in
# each simulated path. Input: array (n_paths, n_steps+1). Output: array
# (n_paths,) of max drawdown fractions.
n_paths = wealth_paths.shape[0]
mdd = np.zeros(n_paths)
for i in range(n_paths):
path = wealth_paths[i, :]
running_max = np.maximum.accumulate(path)
drawdown = (running_max - path) / np.maximum(running_max, 1e-9)
mdd[i] = drawdown.max()
return mdd
def compute_ruin_prob(wealth_paths, threshold=0.01):
# Ruin probability: fraction of paths that drop below threshold of
# starting wealth. Input: array (n_paths, n_steps+1). Output: scalar
# probability.
terminal_wealth = wealth_paths[:, -1]
return (terminal_wealth 0.5, treat as a win. This is used
# only to set an empirical resampling probability for the simulation,
# not to leak future information.
outcomes = (p_up > 0.5).astype(int)
full_kelly_f = kelly_fraction(p_up, win_return, lose_return)
# claim E: fractional Kelly multiplier
frac_multiplier = 0.5
fractional_kelly_f = full_kelly_f * frac_multiplier
# claim Q: cost haircut using an assumed round trip spread of 0.5 percent
spread_frac = 0.005
cost_aware_f = apply_cost_haircut(fractional_kelly_f, spread_frac)
# fixed-fraction baseline, independent of p_up
fixed_f = np.full_like(full_kelly_f, 0.05)
print(f"n bets: {len(p_up)}, win_return={win_return:.4f}, lose_return={lose_return:.4f}")
print()
results = {}
results["full_kelly"] = evaluate_strategy(
"Full Kelly (baseline, claim C/T/U)", full_kelly_f, win_return, lose_return, outcomes
)
print()
results["fractional_kelly"] = evaluate_strategy(
"Fractional Kelly x0.5 (claim E)", fractional_kelly_f, win_return, lose_return, outcomes
)
print()
results["cost_aware"] = evaluate_strategy(
"Fractional Kelly + cost haircut (claim Q)", cost_aware_f, win_return, lose_return, outcomes
)
print()
results["fixed_fraction"] = evaluate_strategy(
"Fixed 5 percent baseline", fixed_f, win_return, lose_return, outcomes
)
print()
print("Check: fractional Kelly should show lower ruin probability and lower")
print("mean max drawdown than full Kelly (claims F, G). If it does not,")
print("the frac_multiplier or cost assumptions should be revisited.")
if __name__ == "__main__":
main()
ما الذي سنبنيه
ما الذي سنبنيه
سنبني نموذجًا أوليًا مدته أسبوعان يحوّل سلسلة p_up المخزنة إلى سجل مراكز محدَّد الحجم، حسّاس للتكلفة، مراقَب من ناحية التراجع، مُتحقَّق منه بشكل حصري على بيانات تاريخية (bars) في data.sqlite. الأسبوع الأول: تنفيذ دالة تحديد الحجم بنسبة Kelly الجزئية بمضاعِف قابل للضبط، وخصم التكلفة المبني على فرق العرض والطلب، ومحاكي مسارات مونتي كارلو تمامًا كما في الشيفرة أعلاه، وتعبئته بأثر رجعي على كل زوج (رمز، أفق زمني) له سجل تنبؤات أطول من 60 نقطة. الأسبوع الثاني: مسح المضاعِف الجزئي من 0.1 إلى 1.0، وافتراض التكلفة من 0 إلى 1 بالمئة لدورة تداول كاملة (round trip)، وتقرير، لكل توليفة، متوسط الثروة النهائية، ومتوسط أقصى تراجع، واحتمال الخسارة الكاملة (الثروة أقل من 0.5 من البداية) عبر ما لا يقل عن 2000 مسار محاكى.
سنُقيّم النموذج الأولي بحسب ما إذا كانت النسختان الجزئية والحسّاسة للتكلفة تُظهران احتمال خسارة كاملة أدنى ومتوسط أقصى تراجع أدنى من خط أساس Kelly الكامل، بما يتوافق مع المفاضلة النوعية بين النمو والأمان المذكورة في المحاكاة المستشهد بها، وبحسب ما إذا كان خط أساس النسبة الثابتة يُهزَم على مستوى الثروة النهائية المعدَّلة بالمخاطر. لن نطالب بأي تفوّق عددي محدد يتجاوز ما تُظهره محاكاتنا الخاصة، لأنه لا توجد دراسة مستشهد بها تقيس هذا الأنبوب المشترك بالضبط.
التكلفة: النموذج الأولي بكامله يعمل على وحدة معالجة مركزية (CPU) لحاسوب محمول، بدون وحدة معالجة رسومية (GPU)، وبدون وصول للشبكة، وتكتمل المحاكاة في أقل من ثلاث دقائق لبضع مئات من صفوف التنبؤات و2000 مسار. زمن الهندسة الإجمالي لشخصين: أسبوعان إلى ثلاثة أسابيع، مع إنفاق معظم الوقت على بناء جدول تنبؤات نظيف وفحص معايرة p_up بدلًا من رياضيات تحديد الحجم نفسها.
الادعاءات والمراجعة
الادعاءات والمراجعة
- methodمدعوم
Under fair odds, independent and identically distributed (i.i.d.) horse-race market assumptions, and no transaction costs, Kelly proved the optimality of proportional betting strategies.
[3] Kelly Betting with Quantum Payoff: a continuous variable approach, section 1 Introduction“Exploiting this construction, under “fair" odds and independent and identically distributed (i.i.d.) horse-race markets assumptions (with no transactions costs), Kelly proved the optimality of proportional betting strategies; specifically, he proved that the asymptotic growth rat…”
- methodمدعوم
Under the same fair-odds assumptions, the asymptotic growth rate of cumulative wealth is maximal when the fraction of capital bet on each horse is proportional to its true winning probability.
[3] Kelly Betting with Quantum Payoff: a continuous variable approach, section 1 Introduction“Exploiting this construction, under “fair" odds and independent and identically distributed (i.i.d.) horse-race markets assumptions (with no transactions costs), Kelly proved the optimality of proportional betting strategies; specifically, he proved that the asymptotic growth rat…”
- factمدعوم
In its simplest form, the Kelly criterion specifies the optimal fraction of capital to wager.
[5] Kelly Betting Can Be Too Conservative, section I INTRODUCTION“Kelly betting is a prescription for optimal resource allocation among a set of gambles which are typically repeated in an independent and identically distributed manner. This type of wagering scheme was first introduced in the seminal paper [1]. Following this work, many applicat…”
- limitationمدعوم
As the optimal Kelly fraction increases, various risk measures can become unacceptably large.
[5] Kelly Betting Can Be Too Conservative, section I INTRODUCTION“Kelly betting is a prescription for optimal resource allocation among a set of gambles which are typically repeated in an independent and identically distributed manner. This type of wagering scheme was first introduced in the seminal paper [1]. Following this work, many applicat…”
- methodمدعوم
Fractional strategies reduce the optimal Kelly fraction so that less capital is at risk on each bet.
[5] Kelly Betting Can Be Too Conservative, section I INTRODUCTION“Kelly betting is a prescription for optimal resource allocation among a set of gambles which are typically repeated in an independent and identically distributed manner. This type of wagering scheme was first introduced in the seminal paper [1]. Following this work, many applicat…”
- limitationمدعوم
Kelly and high-fractional Kelly strategies have very risky short-term performance.
[4] How Does the Fortune’s Formula Kelly CapitalGrowth Model Perform?, abstract DOI 10.3905/jpm.2011.37.4.096“William Poundstone’s book, Fortune’s Formula, brought the Kelly capital growth criterion to the attention of investors. But how do full and fractional Kelly strategies perform in practice? The authors study three simple investment situations and simulate the behavior of these str…”
- resultمدعوم
Simulations found a consistent trade-off between growth and security as a function of the bet size selected by different strategies.
[4] How Does the Fortune’s Formula Kelly CapitalGrowth Model Perform?, abstract DOI 10.3905/jpm.2011.37.4.096“William Poundstone’s book, Fortune’s Formula, brought the Kelly capital growth criterion to the attention of investors. But how do full and fractional Kelly strategies perform in practice? The authors study three simple investment situations and simulate the behavior of these str…”
- limitationمدعوم
Regardless of how favorable the investment opportunities are or how long the finite horizon is, a sequence of bad scenarios can produce very poor final wealth outcomes and a loss of most of the investor's initial capital.
[4] How Does the Fortune’s Formula Kelly CapitalGrowth Model Perform?, abstract DOI 10.3905/jpm.2011.37.4.096“William Poundstone’s book, Fortune’s Formula, brought the Kelly capital growth criterion to the attention of investors. But how do full and fractional Kelly strategies perform in practice? The authors study three simple investment situations and simulate the behavior of these str…”
- methodمدعوم
An ensemble-learning growth optimal portfolio strategy combines bootstrap aggregating and the random subspace method to mitigate estimation error.
[2] The Kelly Growth Optimal Portfolio with Ensemble Learning, abstract S2 6b1fdf69ed61“As a competitive alternative to the Markowitz mean-variance portfolio, the Kelly growth optimal portfolio has drawn sufficient attention in investment science. While the growth optimal portfolio is theoretically guaranteed to dominate any other portfolio with probability 1 in the…”
- resultمدعوم
Simulation analysis and out-of-sample comparisons with 10 competing strategies on four datasets found that the ensemble-learning growth optimal portfolio strategy was superior across extensive evaluation criteria.
[2] The Kelly Growth Optimal Portfolio with Ensemble Learning, abstract S2 6b1fdf69ed61“As a competitive alternative to the Markowitz mean-variance portfolio, the Kelly growth optimal portfolio has drawn sufficient attention in investment science. While the growth optimal portfolio is theoretically guaranteed to dominate any other portfolio with probability 1 in the…”
- limitationمدعوم مع تحفظات
Empirically derived Kelly bets based on sampled data can differ dramatically from Kelly bets based on the true return distribution.
[5] Kelly Betting Can Be Too Conservative, abstract arXiv:1710.01786v1Passage says Kelly bets for X and X-hat 'can' lead to dramatically different bets, not that they always do; claim overstates certainty.“Kelly betting is a prescription for optimal resource allocation among a set of gambles which are typically repeated in an independent and identically distributed manner. In this setting, there is a large body of literature which includes arguments that the theory often leads to b…”
- resultمدعوم
In the example studied, the data-based practitioner judged the bet highly favorable and selected a large optimal betting fraction, whereas the theoretician using the true distribution selected little or no betting.
[5] Kelly Betting Can Be Too Conservative, section I INTRODUCTION“With regard to the above, we consider the following scenario: A bettor entertains a sequence of gambles from two different points of view. The first point of view is that of the theoretician who works with a model of the returns as a sequence of independent and identically distri…”
- limitationمدعوم
When the return random variable has unbounded support, Kelly theory can lead to no betting at all.
[5] Kelly Betting Can Be Too Conservative, section Kelly Betting Can Be Too Conservative“To formalize these ideas, we provide a result which we call the Restricted Betting Theorem. An extreme case of the theorem is obtained when XX has unbounded support. In this situation, using XX, the Kelly theory can lead to no betting at all.”
- methodمدعوم
In the dynamic game studied, the bettor selects a wealth fraction at time zero, keeps the resulting proceeds at risk for n steps, and updates the bet size only after those n steps.
[1] At What Frequency Should the Kelly Bettor Bet?, abstract DOI 10.23919/acc.2018.8431224“We study the problem of optimizing the betting frequency in a dynamic game setting using Kelly's celebrated expected logarithmic growth criterion as the performance metric. The game is defined by a sequence of bets with independent and identically distributed returns X( k). The b…”
- factمدعوم
The dynamic-game analysis explicitly examines the effects of accrued interest and transaction costs on optimal betting performance.
[1] At What Frequency Should the Kelly Bettor Bet?, abstract DOI 10.23919/acc.2018.8431224“We study the problem of optimizing the betting frequency in a dynamic game setting using Kelly's celebrated expected logarithmic growth criterion as the performance metric. The game is defined by a sequence of bets with independent and identically distributed returns X( k). The b…”
- uncertaintyمدعوم
For general return distributions, the study states conjectures about how optimal performance changes with the update interval and about when a low-frequency bettor can match the performance of a high-frequency bettor.
[1] At What Frequency Should the Kelly Bettor Bet?, abstract DOI 10.23919/acc.2018.8431224“We study the problem of optimizing the betting frequency in a dynamic game setting using Kelly's celebrated expected logarithmic growth criterion as the performance metric. The game is defined by a sequence of bets with independent and identically distributed returns X( k). The b…”
- methodمدعوم
In the transaction-cost market model, the riskless bond is the constant numéraire and the risky stock can be bought at the ask price S and sold at the bid price (1−λ)S.
[7] Optimal Investment with Random Endowments and Transaction Costs: Duality Theory and Shadow Prices, section 2 Market Model“We consider the market model which consists with one riskless bond and one risky asset. The riskless bond BB is assumed to be constant 11 which amounts to serve as the numéraire. The stock price is modeled by a strictly positive and locally bounded adapted càdlàg process (St)0≤t≤…”
- limitationمدعوم
In the presence of market frictions, conventional semimartingale and stochastic-integral analysis does not work in the general setting with transaction costs.
[7] Optimal Investment with Random Endowments and Transaction Costs: Duality Theory and Shadow Prices, section 1 Introduction“In the presence of market frictions, the utility maximization problem relies heavily on the definition of working portfolio processes. The conventional analysis based on semimartingale properties and stochastic integrals will not work in the general setting with transaction costs…”
- methodمدعوم مع تحفظات
With proportional transaction costs, acceptable portfolios can be defined through a consistent price system so that liquidation-value processes remain above stochastic thresholds.
[7] Optimal Investment with Random Endowments and Transaction Costs: Duality Theory and Shadow Prices, abstract arXiv:1504.00310v8Passage says acceptable portfolios are defined via CPS so liquidation value stays above thresholds; claim inserts 'proportional' transaction costs from title but passage doesn't repeat that detail in the cited sentence.“This paper studies the utility maximization on the terminal wealth with random endowments and proportional transaction costs. To deal with unbounded random payoffs from some illiquid claims, we propose to work with the acceptable portfolios defined via the consistent price system…”
- factمدعوم
The Kelly criterion calls for maximization of the expected logarithmic growth of wealth.
[13] On Feedback Control in Kelly Betting: An Approximation Approach, abstract arXiv:2004.14048v2“In this paper, we consider a simple discrete-time optimal betting problem using the celebrated Kelly criterion, which calls for maximization of the expected logarithmic growth of wealth. While the classical Kelly betting problem can be solved via standard concave programming tech…”
- methodمدعوم
The classical Kelly betting problem can be solved using standard concave programming.
[13] On Feedback Control in Kelly Betting: An Approximation Approach, abstract arXiv:2004.14048v2“In this paper, we consider a simple discrete-time optimal betting problem using the celebrated Kelly criterion, which calls for maximization of the expected logarithmic growth of wealth. While the classical Kelly betting problem can be solved via standard concave programming tech…”
- methodمدعوم
A Taylor-based approximation recasts the Kelly betting problem into quadratic programming and produces a closed-form approximate solution.
[13] On Feedback Control in Kelly Betting: An Approximation Approach, abstract arXiv:2004.14048v2“In this paper, we consider a simple discrete-time optimal betting problem using the celebrated Kelly criterion, which calls for maximization of the expected logarithmic growth of wealth. While the classical Kelly betting problem can be solved via standard concave programming tech…”
- resultمدعوم
The Taylor-based approximate Kelly approach provides results concerning betting performance, expected cumulative gain or loss, its variance, expected growth, variance of logarithmic growth, and survivability.
[13] On Feedback Control in Kelly Betting: An Approximation Approach, abstract arXiv:2004.14048v2“In this paper, we consider a simple discrete-time optimal betting problem using the celebrated Kelly criterion, which calls for maximization of the expected logarithmic growth of wealth. While the classical Kelly betting problem can be solved via standard concave programming tech…”
- limitationمدعوم
Position sizing substantially affects the risk and return characteristics of technical trading strategies.
[9] Size matters! How position sizing determines risk and return of technical timing strategies, abstract https://openalex.org/W1584300703“The application of a technical trading rule, which just provides long and short signals, requires the investor to decide upon the exposure to stake in each trade. Although this position sizing (or money management) crucially affects the risk and return characteristics, recent aca…”
- resultمدعوم
A study comparing position-sizing methods found that relative position sizing has a severe impact on trading results compared with erratic positions.
[9] Size matters! How position sizing determines risk and return of technical timing strategies, abstract https://openalex.org/W1584300703“The application of a technical trading rule, which just provides long and short signals, requires the investor to decide upon the exposure to stake in each trade. Although this position sizing (or money management) crucially affects the risk and return characteristics, recent aca…”
- limitationمرفوض
For the timing strategies studied, an optimal position size does not exist under the standard Kelly framework.
[9] Size matters! How position sizing determines risk and return of technical timing strategies, abstract https://openalex.org/W1584300703“The application of a technical trading rule, which just provides long and short signals, requires the investor to decide upon the exposure to stake in each trade. Although this position sizing (or money management) crucially affects the risk and return characteristics, recent aca…”
- resultمدعوم
Smaller trading fractions delivered the highest risk-adjusted returns in most of the simulated scenarios.
[9] Size matters! How position sizing determines risk and return of technical timing strategies, abstract https://openalex.org/W1584300703“The application of a technical trading rule, which just provides long and short signals, requires the investor to decide upon the exposure to stake in each trade. Although this position sizing (or money management) crucially affects the risk and return characteristics, recent aca…”
- limitationمدعوم
Estimation misspecifications in portfolio inputs can cause strong deviations from optimality and inferior out-of-sample performance.
[8] Cross-validated covariance estimators for high-dimensional minimum-variance portfolios, section 1 Introduction“Based on the simple but essential idea of diversification and optimal risk-return profile of an investment strategy, the mean-variance model by Markowitz (1952) still represents the groundwork for portfolio optimization. In its original design, Markowitz portfolio theory assumes …”
- limitationمدعوم
Portfolio weights are extremely sensitive to changes in expected returns, which are more difficult to estimate than return covariances.
[8] Cross-validated covariance estimators for high-dimensional minimum-variance portfolios, section 1 Introduction“Based on the simple but essential idea of diversification and optimal risk-return profile of an investment strategy, the mean-variance model by Markowitz (1952) still represents the groundwork for portfolio optimization. In its original design, Markowitz portfolio theory assumes …”
- limitationمدعوم
Even global minimum-variance portfolios can have significant estimation errors in their portfolio weights when covariance estimates are uncertain, especially in high-dimensional settings.
[8] Cross-validated covariance estimators for high-dimensional minimum-variance portfolios, section 1 Introduction“DeMiguel et al. (2009b) additionally show that the mean-variance portfolio is outperformed out-of-sample by the minimum-variance portfolio not only in terms of risk, but as well in respect to the return-risk ratio. However, even if investors decide to use the global minimum-varia…”
- limitationمدعوم
When the asset-to-sample-size ratio is high, the sample covariance and its inverse have greater estimation error because their eigenvalues can be over- or underestimated.
[8] Cross-validated covariance estimators for high-dimensional minimum-variance portfolios, section 2.1 Sample Covariance“The standard approach for estimating the covariance matrix of returns among researchers and practitioners is to use the sample estimator, defined as Σ^S=1T−1(R−μ^1)′(R−μ^1),\widehat{{{\Sigma}}}_{\mathit{S}}=\frac{1}{T-1}\left({R}-\widehat{{\mu}}{1}\right)^{\prime}\left({R}-\w…”
- limitationمدعوم
When the concentration ratio q=n/T exceeds 1, the sample covariance matrix becomes singular and its inverse cannot be calculated.
[8] Cross-validated covariance estimators for high-dimensional minimum-variance portfolios, section 2.1 Sample Covariance“The standard approach for estimating the covariance matrix of returns among researchers and practitioners is to use the sample estimator, defined as Σ^S=1T−1(R−μ^1)′(R−μ^1),\widehat{{{\Sigma}}}_{\mathit{S}}=\frac{1}{T-1}\left({R}-\widehat{{\mu}}{1}\right)^{\prime}\left({R}-\w…”
- methodمدعوم
Linear shrinkage estimators combine the sample covariance matrix with a structured target matrix to provide a bias-variance trade-off.
[8] Cross-validated covariance estimators for high-dimensional minimum-variance portfolios, section 1 Introduction“We cover several approaches that have been shown to overcome these estimation issues and perform well in terms of out-of-sample variance. For instance, we discuss the linear shrinkage estimators of Ledoit and Wolf (2004a), Ledoit and Wolf (2004b) designed to offer an optimal bias…”
- methodمدعوم
A multi-fold cross-validation technique can be used to select tuning parameters for covariance-estimation methods within each method.
[8] Cross-validated covariance estimators for high-dimensional minimum-variance portfolios, abstract arXiv:1910.13960v5“The global minimum-variance portfolio is a typical choice for investors because of its simplicity and broad applicability. Although it requires only one input, namely the covariance matrix of asset returns, estimating the optimal solution remains a challenge. In the presence of h…”
- resultمدعوم
In an empirical analysis using four S&P 500 datasets, data-driven tuning-parameter selection through cross-validation improved the out-of-sample performance of the global minimum-variance portfolio.
[8] Cross-validated covariance estimators for high-dimensional minimum-variance portfolios, abstract arXiv:1910.13960v5“The global minimum-variance portfolio is a typical choice for investors because of its simplicity and broad applicability. Although it requires only one input, namely the covariance matrix of asset returns, estimating the optimal solution remains a challenge. In the presence of h…”
- factمدعوم
Maximizing expected growth can still produce significant drawdowns that make a strategy unsustainable.
[12] A Rational Risk Policy? Why Path Dependence Matters, abstract DOI 10.3390/e25020202“The Kelly criterion determines optimal bet sizes that maximize long-term growth. While growth is definitely an important consideration, the focus on growth alone can lead to significant drawdowns, leading to psychological discomfort for a risk-taker. Path-dependent risk measures,…”
- methodمدعوم
Path-dependent risk measures such as drawdown risk can be used to assess the risk of significant portfolio retracements.
[12] A Rational Risk Policy? Why Path Dependence Matters, abstract DOI 10.3390/e25020202“The Kelly criterion determines optimal bet sizes that maximize long-term growth. While growth is definitely an important consideration, the focus on growth alone can lead to significant drawdowns, leading to psychological discomfort for a risk-taker. Path-dependent risk measures,…”
- methodمدعوم
Monte Carlo simulation can be used to analyze the medium-term behavior of cumulative return paths under different return distributions.
[12] A Rational Risk Policy? Why Path Dependence Matters, abstract DOI 10.3390/e25020202“The Kelly criterion determines optimal bet sizes that maximize long-term growth. While growth is definitely an important consideration, the focus on growth alone can lead to significant drawdowns, leading to psychological discomfort for a risk-taker. Path-dependent risk measures,…”
- limitationمدعوم
Heavier-tailed outcome distributions require additional care because the growth-optimal strategy may not be optimal from a practical risk perspective.
[12] A Rational Risk Policy? Why Path Dependence Matters, abstract DOI 10.3390/e25020202“The Kelly criterion determines optimal bet sizes that maximize long-term growth. While growth is definitely an important consideration, the focus on growth alone can lead to significant drawdowns, leading to psychological discomfort for a risk-taker. Path-dependent risk measures,…”
- methodمدعوم مع تحفظات
A lifetime-ruin investment problem with proportional transaction costs can be formulated as minimizing the probability that ruin occurs before death.
[10] Stochastic Perron's Method for the Probability of lifetime ruin problem under transaction costs, section 1. IntroductionPassage describes the problem as 'how individuals should invest...to minimize the probability of lifetime ruin, when buying and selling...incur proportional transaction costs'; claim correctly interprets the formulation but 'can be formulated as' is weaker than the passage's direct description.“Stochastic Perron’s method has been applied to linear problems [1], Dynkin games [3], HJB equations for regular control problems [2], (regular) exit time problems [12] and zero-sum differential games [14]. This paper adapts the method to another type of problems: singular control…”
المصادر
المصادر
- [1]Chung-Han Hsieh, B. Ross Barmish, John A. Gubner. At What Frequency Should the Kelly Bettor Bet?, 2018.
- [2]Weiwei Shen, Bin Wang, Jian Pu, Jun Wang. The Kelly Growth Optimal Portfolio with Ensemble Learning. AAAI Conference on Artificial Intelligence, 2019.
- [3]Salvatore Tirone, Maddalena Ghio, Giulia Livieri, Vittorio Giovannetti, Stefano Marmi. Kelly Betting with Quantum Payoff: a continuous variable approach. arXiv, 2020.
- [4]Leonard C. MacLean, Edward O. Thorp, Yonggan Zhao, William T. Ziemba. How Does the Fortune’s Formula Kelly CapitalGrowth Model Perform?. The Journal of Portfolio Management, 2011.
- [5]Chung-Han Hsieh, B. Ross Barmish, John A. Gubner. Kelly Betting Can Be Too Conservative. arXiv, 2017.
- [6]Adashu Jacob Daniel, A. Josaphat. Modeling Volatility Using Bayesian GARCH with Student-t and Generalized Error Distributions: A Case Study of Bitcoin. Asian Journal of Science, Technology, Engineering, and Art, 2025.
- [7]Erhan Bayraktar, Xiang Yu. Optimal Investment with Random Endowments and Transaction Costs: Duality Theory and Shadow Prices. arXiv, 2015.
- [8]Sven Husmann, Antoniya Shivarova, Rick Steinert. Cross-validated covariance estimators for high-dimensional minimum-variance portfolios. arXiv, 2019.
- [9]Peter Scholz. Size matters! How position sizing determines risk and return of technical timing strategies. RePEc: Research Papers in Economics, 2012.
- [10]Erhan Bayraktar, Yuchong Zhang. Stochastic Perron's Method for the Probability of lifetime ruin problem under transaction costs. arXiv, 2014.
- [11]Yacine AÏT‐SAHALI, Michael W. Brandt. Variable Selection for Portfolio Choice. The Journal of Finance, 2001.
- [12]Hans Geboers, Benoît Depaire. A Rational Risk Policy? Why Path Dependence Matters. Entropy, 2023.
- [13]Chung-Han Hsieh. On Feedback Control in Kelly Betting: An Approximation Approach. arXiv, 2020.
- [14]Campbell R. Harvey, Yan Liu, Caroline Zhu. … and the Cross-Section of Expected Returns. Review of Financial Studies, 2015.
- [15]Tianyu Long. A New CKLS Model with GARCH-type Volatility and SSAEPD Error Terms. Highlights in Business, Economics and Management, 2024.
- [16]Enzo Busseti, Ernest K. Ryu, Stephen Boyd. Risk-Constrained Kelly Gambling. The Journal of Investing, 2016.
- [17]Jiacheng Feng. Portfolio Selection with Mandatory Bequest. arXiv, 2014.
- [18]Sven Husmann, Antoniya Shivarova, Rick Steinert. Sparsity and Stability for Minimum-Variance Portfolios. arXiv, 2019.